对于许多人来说,虚数i的概念已经很让人费解。但更令人费解的是关于i的根的问题,最令人费解的可能就是求出i的i次根的值。
这个问题的答案是,i有无限多个i次根,它们都是正实数,范围从无穷小到无穷大。
为什么?
i的i次根是精确的实数,这有点违背直觉。我们来看看如何推导i的i次根。首先,让我们从根表示法转到指数表示法:
现在,我们通过将指数乘以i/i = 1来有理化,因此我们得到:
欧拉公式的使用
根据欧拉公式,我们知道对于任何给定的实值x有:
因为sin(π/2)=1, cos(π/2)=0,所以当x = π/2时,我们有
综上所述,我们得到
结果出来了。用R计算,我们有:
你不是说有无限多个解吗?
确实。让我们回到欧拉公式,注意,对于k的任意整数,cos(2kπ) = 1, sin(2kπ) = 0。因此,对于k的任意整数值,
因此,对于任意整数k,
并且
这意味着有无穷多个值,它们可以作为原始解的倍数得到。如果k是一个负整数,它会把原解除以无穷小的极限,如果k是一个正整数它会把原解乘以无穷小的极限。例如,k = 10
是i的i次根。